標籤: 電腦

若3D模型發生碰撞後需要計算碰撞反應,不通物體運動有不同碰撞反應.但物體多數以直線運動.物體彈回角度和碰撞角度相等.

入射角度:桌球運動方向與邊沿平面法線向量之間夾角.

反射角度:垂直於運動方向矢量

例:當桌球撞向邊沿.它將按撞擊角度與之對等『入射角度』彈開

方程並沒有考慮球體旋轉作用力與磨擦力.最終得到計算反射方向方程式

給定運動方向矢量I與垂直法線N求碰撞反射方向F

F = (I – N2 (I % N)) * | I |;

計算反射方向代碼,dir為射線方向,normal為碰撞面法線

VECTOR3D Reflection_VECTOR3D(VECTOR3D_PTR dir,VECTOR3D_PTR normal){

VECTOR3D vec ;

Normalize_VECTOR3D(dir, &vec); // 單為化方向向量

*dir = (vec – *normal * 2.0f * (vec % *normal)) * Length_VECTOR3D(dir);

return *dir;

}

平面是3D圖形學重要部分.平面有兩個重要概念.

1.3D平面都無窮遠延伸

2.所有平面都將整個空間分成兩個半空間.正半空間為法線指向空間,負半空間則是令一則空間.這個特性對於碰撞算法重要

平面描敘如下:

平面法線向量:n=(a,b,c)

平面任意點:p0=(x0,y0,z0)

平面任意點:p=(x,y,z)

平面與原點距離:d平面位移常量(plane-shift constant)

因為法線n與向量(p0->p)垂直. 因兩垂直向量點積為零:

n * (p0->p) = 0

轉為分量表示

(a,b,c)*(x-x0,y-y0,z-z0)=0

轉為『頂點』與『法線』表示

a(x-x0)+b(y-y0)+c*(z-z0)=0

ax+by+cz+(-ax0-by0-cz0)=0

令d=-ax0-by0-c*z0

『平面方程』如下:

ax+by+c*z+d=0

 

這足以定義平面結構

typedef struct PLANE3D_TYP{

VECTOR3D n;//平面法線向量(不必是單位向量)

float dist;//平面到原點最近距離

POINT3D p0;//平面上最近原點的點

}PLANE3D,*PLANE3D_PTR;

 

判斷『點』位於『平面』那個半空

3D世界中『視點』、『角色』並不能穿越牆壁.要做到這步需判斷點位於平正空間(法線指向)還是負空間.

要判斷這點需要下面的平面方程

hs=a(x-x0)+b(y-y0)+c*(z-z0)

只需將點(x,y,z)帶入方程中並計算結果

如果hs=0則該點位於平面之上

如果hs>0則該點位於平面正半空間(法線指向)中

如果hs<0則該點位於平面負半空間中

float Compute_Point_In_Plane3D(PLANE3D_PTR plane,VECTOR3D_PTR pt){

float hs = plane->A * pt->x + plane->B * pt->y + plane->C * pt->z + plane->D;

return(hs); // 返回半空間值

}

 

計算平面與直線之相交點(3D空間)

平面『頂點』與『法線』方程如下:

a(x-x0)+b(y-y0)+c*(z-z0)=0

3D直線方程如下:

(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c

計算多邊形法線與直線方向點積

double a = plane->n % (line->v);

若為零則直線與平面平行

VECTOR3D Intersect;

if (a == 0)

Intersect = line->p0;

計算相交點

Intersect = line->p0 – (line->v) * ((plane->n % line->p0 + plane->D) / a);

3D線段與3D平面交點函式:

bool Intersect_Line3D_Plane3D(PLANE3D_PTR plane, PARMLINE3D_PTR line,POINT3D_PTR pt){

// 計算直線方向與多邊形法線點積

double a = plane->n % (line->v);

if (a == 0)

return false;

// 計算相交點

*pt = line->p0 – (line->v) * ((plane->n % line->p0 + plane->D) / a);

return true;

}

 

計算頂點是否為於多邊形之上,

首先計算頂點與多邊形所有頂點之間角度總和.如果該頂點位於多邊形之上.那麼此頂點與多邊形所有頂點之間角度總和將等於或接近2PI

bool Intersect_Vector3D_Polygon3D(VECTOR3D_PTR polygon, int num,VECTOR3D_PTR v){

VECTOR3D segment1, segment2;// 頂點 到 多邊形頂點 矢量

double length1, length2;// 矢量長度

double sumAngle = 0;// 矢量之間角度總和

double cosAngle = 0;// 兩矢量余弦角

// 編曆多邊形所有頂點

for (int index = 0; index < num; ++index)     {

segment1 = polygon[index] – *v;

segment2 = polygon[(index+1) % num] – *v; // % num 確保數值環形加一

length1 = Length_VECTOR3D(&segment1);

length2 = Length_VECTOR3D(&segment2);// 矢量長度

//檢查頂點是否落在多邊形邊界上

if ( length1 * length2 <= 0.0000001f){

// 多邊形邊界被認為是多邊形內部

sumAngle = PI2; // pai * 2

break;

}

// 計算上述兩個矢量之間余弦角

cosAngle = (segment1 % segment2) / (length1 * length2);

// 將計算結果累加入角度總和

sumAngle = sumAngle + acosf(cosAngle);

}

if ((sumAngle <= PI2 + 0.0000001f) && (sumAngle >= PI2 – 0.0000001f))

return true;// 頂點與多邊形發生碰撞

else

return false;

return true;

}

 

使用三個頂點初始化(定義)3D平面!

void Init_PLANE3D(PLANE3D_PTR plane,VECTOR3D_PTR va,VECTOR3D_PTR vb,VECTOR3D_PTR vc){

VECTOR3D normalA = *vc – *va;// 計算頂點C->A向量

VECTOR3D normalB = *vc – *vb;// 計算頂點C->B向量

plane->n = Cross_VECTOR3D(&normalA, &normalB);// 計算兩個3D向量叉積

plane->D = Dot_VECTOR3D(&(-(*va)), &plane->n); //距離等於va求返後與n求點積

}

矢量(VECTOR)也稱『向量』其實是抽象『量』它在遊戲世界被頂義為『位置』『速度』『磨擦』『方向』『點』等等. 矢量通常有3種

矢量	分量	簡序
2D矢量	x,y	2D空間
3D矢量	x,y,z	3D空間
4D矢量	x,y,z,w	3D空間w總是為1.用於方陣運算

首先定義3D矢量結構:

typedef struct VECTOR3D_TYP{

float x,y,z;

}VECTOR3D,*VECTOR3D_PTR;

下面是3D矢量(VECTOR)運算函式庫.

 

計算3D矢量長度,矢量長度也稱為範數(norm).將其理解為原點(0,0,0)到矢量(x,y,z)之距離

float Length_VECTOR3D(VECTOR3D_PTR va){

return( (float)sqrtf(va->xva->x + va->yva->y + va->z*va->z) );

}

 

對3D矢量進行歸一化(normalize),也就使其長度縮放為1,但同時方向保持不變.它通常被用於無需理會長度之運算如『方向』

void Normalize_VECTOR3D(VECTOR3D_PTR va){

// 1.首先計算長度

float length = sqrtf(va->xva->x + va->yva->y + va->z*va->z);

//2.矢量除以長度得到歸一化矢量

va->x= va->x/length;

va->y= va->y/length;

va->z= va->z/length;

}

 

3D矢量點積運算可以理解為矢量乘法.先將各分量相乘後再相加得到一個標量

float operator%(VECTOR3D va, VECTOR3D vb){

return((va.x * vb.x) + (va.y * vb.y) + (va.z * vb.z));

}

float Dot_VECTOR3D(VECTOR3D_PTR va, VECTOR3D_PTR vb){

return( (va->x * vb->x) + (va->y * vb->y) + (va->z * vb->z) );

}

叉積是另一種矢量乘法,叉積運算最小要有3個分量才有效.

VECTOR3D operator^(VECTOR3D va, VECTOR3D vb){

VECTOR3D vn;

vn.x = ((va.y * vb.z) – (va.z * vb.y));

vn.y = -((va.x * vb.z) – (va.z * vb.x));

vn.z = ((va.x * vb.y) – (va.y * vb.x));

return(vn);

}

VECTOR3D Cross_VECTOR3D(VECTOR3D_PTR va, VECTOR3D_PTR vb){

VECTOR3D vn;

vn.x =  ( (va->y * vb->z) – (va->z * vb->y) );

vn.y = -( (va->x * vb->z) – (va->z * vb->x) );

vn.z =  ( (va->x * vb->y) – (va->y * vb->x) );

return(vn);

}

 

計算兩個3D矢量va和vb之間夾角余弦值

float CosTh_VECTOR3D(VECTOR3D_PTR va, VECTOR3D_PTR vb){

return(Dot_VECTOR3D(va,vb)/(Length_VECTOR3D(va)*Length_VECTOR3D(vb)));

}

 

 

計算三角形法線

void Normal_VECTOR3D(VECTOR3D_PTR normal,VECTOR3D_PTR va, VECTOR3D_PTR vb, VECTOR3D_PTR vc){

VECTOR3D u, v, n;

float length;

u = *vb – *va;

v = *vc – *va;

n = u^v;//Cross_VECTOR3D(&u, &v, &n);// 計算叉積

length = sqrtf(n.xn.x + n.yn.y + n.z*n.z);

normal->x = n.x/length;

normal->y = n.y/length;

normal->z = n.z/length;

}

 

將兩個3D矢量相加(va + vb),如用於位置移動

VECTOR3D operator+(VECTOR3D va, VECTOR3D vb){

VECTOR3D vsum;

vsum.x = va.x + vb.x;

vsum.y = va.y + vb.y;

vsum.z = va.z + vb.z;

return (vsum);//返回相加結果!

}

 

將兩個3D矢量相減(va – vb),如用於位置移動

VECTOR3D operator-(VECTOR3D va, VECTOR3D vb){

VECTOR3D vdiff;

vdiff.x = va.x – vb.x;

vdiff.y = va.y – vb.y;

vdiff.z = va.z – vb.z;

return(vdiff);     //返回相減向量!

}

 

3D矢量反數,如返轉方向

VECTOR3D operator-(VECTOR3D v){

VECTOR3D negation;

negation.x = -v.x ;

negation.y = -v.y ;

negation.z = -v.z ;

return(negation);     //返回反數向量!

}

 

使用縮放因子k對3D矢量進行縮放如:位置=位置+速度*時間

VECTOR3D operator*(VECTOR3D va, float k){

VECTOR3D vscaled;

vscaled.x = k * va.x;

vscaled.y = k * va.y;

vscaled.z = k * va.z;

return vscaled;// 返回縮放後向量

}

 

3D矢量賦值

void Init_VECTOR3D(VECTOR3D_PTR v, float x,float y,float z) {

v->x = x;  v->y = y; v->z = z;

}

 

3D矢量拷貝

Copy_VECTOR3D(VECTOR3D_PTR vdst, VECTOR3D_PTR vsrc){

vdst->x = vsrc->x;  vdst->y = vsrc->y; vdst->z = vsrc->z;

}

 

3D矢量比較

bool operator==(VECTOR3D vdst, VECTOR3D vsrc){

if (vdst.x == vsrc.x && vdst.y == vsrc.y && vdst.z == vsrc.z)

return true;

else

return false;

}

 

3D向量不等比較

bool operator!=(VECTOR3D vdst, VECTOR3D vsrc)

{

if (vdst.x != vsrc.x ||         vdst.y != vsrc.y ||vdst.z != vsrc.z)

return true;

else

return false;

}

 

向量歸零(3D向量)無方向,無距離,代表位於原點

void Zero_VECTOR3D(VECTOR3D_PTR v) {

v->x = v->y = v->z = 0.0f;

}

計算兩矢量之間夾角

float Angle_VECTOR3D(VECTOR3D_PTR va, VECTOR3D_PTR vb){

return acosf(*va % *vb);

}

角度轉弧度

#define DEG_TO_RAD(ang) ((ang)*PI/180.0)

弧度轉角度

#define RAD_TO_DEG(rads) ((rads)*180.0/PI)

隨機數 x:下限,  y:上限.

#define RAND_RANGE(x,y) ( (x) + (rand()%((y)-(x)+1)))

隨機數: -1.0 ~ 1.0

#define FRAND_RANGE1()   (((float)rand()-(float)rand())/RAND_MAX)

隨機數 0~1

#define FRAND_RANGE() ((float)rand() / (float)RAND_MAX)